Чем похожи крона, лёгкие и река?

Дерево, лёгкое, река — одна и та же форма. Посмотрите на крону ближайшего дерева. Ствол делится на крупные ветви, те — на средние, те — на мелкие, мелкие — на веточки с листьями. Та же схема лежит в основании ваших лёгких и у разветвлений реки на дельту.

Ветвление устроено так, что каждая часть похожа на целое. Такая структура называется фракталом.

Что сделать. Посмотрите на дерево рядом со стендом и посчитайте, сколько уровней ветвления до самых тонких веточек. У большинства деревьев получается 7–10.

Лёгкие взрослого человека при объёме около 5 литров имеют внутреннюю поверхность порядка 70 м² — это возможно именно потому, что дыхательные пути ветвятся примерно 23 раза подряд.

Откуда берутся эти 70 м²? В модели Вейбеля каждое деление удваивает число ветвей: после 23 уровней их $2^{23}\approx8\cdot10^{6}$, а альвеолы сидят на самых дальних. Всего их в обоих лёгких в среднем около 480 миллионов (у разных людей от 274 до 790 миллионов), и объём одной альвеолы около $4{,}2\cdot10^{6}$ мкм³¹. Шар такого объёма имеет диаметр около 0,2 мм и поверхность $\pi d^2\approx0{,}13$ мм². Умножаем: $4{,}8\cdot10^{8}\cdot0{,}13$ мм² ≈ 60 м² — тот же порядок, что и 70 м² (форма альвеол не шар, а размеры лёгких у людей разные). Поэтому важна не размерность бронхов, а то, что ветвление вынесло сотни миллионов мелких пузырьков в объём пяти литров.

Когда живой или физической системе нужна большая поверхность контакта при малом объёме, ветвление решает задачу точнее, чем любая гладкая форма. Сплошной мешок с тем же объёмом имел бы поверхность в сотни раз меньше. Поэтому один и тот же приём — повторяющееся деление на более мелкие ветви — возникает в системах, которые ничего не знают друг о друге: в лёгких млекопитающих, в сосудах листа, в корневой системе, в речных дельтах, в молниях. Правило ветвления не принадлежит биологии или географии — оно диктуется геометрией и общим требованием «много поверхности в малом объёме».

1. одно правило ветвления на всех масштабах — большая поверхность в малом объёме
2. крона
3. лёгкие
4. речная сеть
5. 23 деления дают около 2²³ ≈ 8·10⁶ концевых мешочков, на них сидят около 4,8·10⁸ альвеол диаметром около 0,2 мм и поверхностью около 0,13 мм² каждая — вместе около 60 м² (в литературе около 70 м²) в объёме 5 л

Измерять такие структуры можно фрактальной размерностью: чем меньше линейка, тем длиннее получается контур, и по скорости этого роста вычисляют число между 1 и 2 (для береговой линии Британии — около 1,25).

Почему у фрактала всегда конечное число уровней. Фрактальная размерность D вводится через измерение: если покрыть контур линейкой длины ε, понадобится N(ε) отрезков, и между ними выполняется N(ε) ∝ ε^(−D). Для гладкой линии D = 1, для плотно заполненной плоскости D = 2. Береговая линия Британии при уменьшении линейки удлиняется между ними: D ≈ 1,25.

Природные фракталы, в отличие от математических, всегда ограничены сверху и снизу: у лёгких ветвление идёт 23 уровня, и его нижний предел связан с переносом газа: общее сечение путей растёт с каждым уровнем, скорость воздуха падает и примерно на 17-м уровне становится меньше скорости диффузии кислорода, поэтому на уровнях с 17-го по 23-й кислород идёт по неподвижному воздуху диффузией¹; у дерева — на 7–10-м уровне, потому что более тонкая ветка не удержит лист или не получит достаточно света. Масштаб работы закона задаёт физика конкретной среды, а не сама формула ветвления.

Как это узнаёт наука. Фрактальную размерность измеряют методом покрытия (box-counting): на снимок накладывают сетку с разным шагом и считают, сколько клеток содержит объект. Логарифмический наклон этой зависимости и есть D. Так измеряют размерность сосудистой сети по рентгеновским снимкам, трещин — по фотографиям горных пород, облаков — по спутниковым данным.

Закон Клайбера. Если геометрия сосудистой сети фрактальна, то и скорость обмена через неё подчиняется степенному закону: метаболизм животного растёт как m^0,75 от массы. Слон на килограмм веса потребляет примерно в 20 раз меньше пищи, чем мышь. Почему именно показатель 3/4, а не 2/3 (как было бы для гладкой сферы) — обсуждается до сих пор.

Сколько это в числах Фрактальная размерность считается по тому, как растёт число покрывающих объект клеток при уменьшении их размера: $N(r) \sim r^{-D}$. Словами: во сколько раз больше деталей проявляется, когда всматриваетесь вдвое пристальнее. У гладкой кривой $D = 1$, у заполняющей плоскость — 2; природные объекты лежат между.

Измеренные значения: береговая линия Норвегии — 1,52, западного побережья Великобритании — 1,25, а сравнительно ровное побережье Южной Африки — 1,02². Бронхиальное дерево здорового человека, по обзору, имеет размерность около 1,6–1,8³. Поверхность газообмена при этом достигает 70 квадратных метров при объёме в несколько литров, но набирается она на альвеолах, а не на бронхах.

Отсюда и знаменитый парадокс длины: измеряя береговую линию Британии шагом в 100 километров, получают около 2800 км, шагом в 50 километров — 3400 км, а с картой крупного масштаба цифра растёт дальше. Ответ зависит от линейки, и это не дефект измерения, а свойство самой линии.

Границы: где самоподобие кончается

• Всегда сверху и снизу. У природного фрактала есть наибольший масштаб (размер самого объекта) и наименьший — размер клетки, песчинки, молекулы. Между ними обычно укладывается два-три порядка, редко больше. Математический фрактал бесконечен, природный — нет, и разговоры о «бесконечной сложности природы» этим и ограничены.
• Самоподобие статистическое, а не точное. Ветка дерева похожа на дерево не буквально, а в среднем — по распределению углов и длин. Точное самоподобие есть только у построенных объектов вроде снежинки Коха.
• Одного числа мало. Размерность сжимает форму до одной цифры, и совершенно разные объекты могут иметь одинаковый $D$. Для описания реальных структур используют целый спектр размерностей — мультифрактальный анализ.
• Метод измерения влияет на результат. Клеточный подсчёт, циркульный метод и спектральные оценки дают для одного объекта расходящиеся значения; сравнивать опубликованные размерности можно только при одинаковой методике.

О чём спорят Насколько фрактальность — объяснение, а не описание, обсуждается до сих пор. Критики указывают: показать, что структура самоподобна, ещё не значит объяснить, почему она такой стала; вывод закона Клайбера из оптимальности сосудистой сети опирается на допущения, которые сами требуют обоснования. Сторонники отвечают, что фрактальная геометрия даёт проверяемые предсказания — например, связь между размерностью сети и показателем в законе масштабирования, — и что предсказания эти сбываются на широком классе организмов.

Открытый вопрос. Можно ли из одного принципа «много поверхности в малом объёме» вывести число уровней ветвления, углы между ветвями, соотношение диаметров родительской и дочерней ветвей? Частично да (модели Уэста–Брауна–Энквиста, закон Мюррея для сосудов). Полного вывода «от первых принципов» для живых ветвящихся систем пока нет.

Лекция по теме Александр Гасников, «Фракталы» — самоподобие от береговой линии и фьордов до кроны дерева, с разбором размерности.