Почему дюна движется?

Пересыпьте песок между ладонями: пока струйка тонкая, песок течёт как вода. На Куршской косе он течёт так же, только медленно — и целый холм высотой с многоэтажку сдвигается на метры в год. Дюны здесь и вправду «идут»: за столетие подвижные пески успели засыпать не одну прибрежную деревню.

Прямо здесь видно, как это устроено. У дюны два склона: пологий — навстречу ветру, и крутой — с подветренной стороны. Ветер сдувает песчинки с пологого склона, переносит через гребень и роняет за ним, в затишье. Песок убывает спереди и прибывает сзади — и весь холм, песчинка за песчинкой, переползает по ветру, сам оставаясь почти неизменным.

1. ветер →
2. прежние положения дюны
3. наветренный склон: песчинки скачут вверх
4. подветренный: осыпается круче

Песок трогается не от любого ветерка, а лишь когда ветер переступит порог. А за порогом переносится так стремительно, что несколько штормовых дней меняют косу сильнее, чем месяцы ровного бриза. Откуда такая резкость — в разделе «Как это работает».

Песчинку у земли держат её вес и соседи. Ветру, чтобы её сорвать, надо разогнаться до некоторой пороговой скорости. Меру «силы» ветра у поверхности удобно брать не как обычную скорость, а как динамическую скорость $u_*$ — она задаёт, с какой силой поток тянет за песок. Порог трогания оценивает формула Бэгнольда¹:

$$ u_* \approx 0{,}1\,\sqrt{\frac{\rho_p - \rho_v}{\rho_v}\, g\, d} $$

оценка порядка

где $\rho_p$ — плотность песчинки, $\rho_v$ — плотность воздуха, $g$ — ускорение свободного падения, $d$ — диаметр зерна. Чем крупнее и тяжелее песок, тем сильнее нужен ветер.

А вот за порогом перенос растёт не плавно, а круто — как куб динамической скорости:

$$ q \propto u_*^{\,3} $$

модель

Усилился ветер вдвое — и песка переносится в $2^3 = 8$ раз больше. Откуда куб? Напряжение ветра на поверхности $\rho_v u_^2$ тратится на то, чтобы удерживать в воздухе прыгающие зёрна, поэтому масса песка в воздухе над каждым квадратным метром растёт как $u_^2$. Скорость самих зёрен пропорциональна $u_$. Поток — это масса, умноженная на скорость, то есть $u_^3$. У Бэгнольда $q = C\sqrt{d/D}\,(\rho_v/g)\,u_^3$, и величина $\rho_v u_^3/g$ — килограммы на метр в секунду, как и должно быть у потока песка на метр ширины. Закон приближённый и годится для ветра заметно выше порога. Отсюда и резкость: спокойный ветер почти ничего не делает, зато шторм ворочает дюну. Сорванная песчинка не улетает совсем, а летит по короткой пологой дуге и, падая, выбивает несколько соседних — те подскакивают и выбивают следующих, как первый шар разбивает бильярдную пирамиду. Эта цепочка подскоков называется сальтацией; из множества таких прыжков и складывается движение всей гряды.

1. взвесь: пыль уносит по воздуху
2. ветер →
3. сальтация: низкие пологие скачки, падая, выбивают соседей
4. крип: тяжёлые зёрна катятся по поверхности

Почему песок остаётся именно за гребнем? За гребнем пограничный слой воздуха отрывается от поверхности, позади кромки возникает большой вихрь, и скорость ветра резко падает: зёрна, перелетевшие кромку, больше нечем нести². Они падают и копятся на подветренной стороне, пока склон не станет круче угла естественного откоса сухого песка — 30–35°³. Тогда верхний слой осыпается лавинкой, и склон остаётся на этом пределе, поэтому подветренная сторона всегда крутая. Наветренная сторона пологая, потому что песок по ней поднимается к гребню и не копится.

Где работает тот же закон?

Так же — порогом и сальтацией — метёт позёмка из снега, поднимается пыльная буря в степи, ползут барханы в пустыне. Те же кубические законы переноса учитывают, когда считают пыльные бури даже на Марсе: песок там летит в разреженном воздухе, но математика остаётся той же.

Что такое $u_*$ и сколько это в ветре. Динамическая скорость — не скорость ветра, а мера трения потока о поверхность; над песком ветер у самой земли почти стоит, а на высоте метра дует в 20–30 раз сильнее, чем $u_$. Это следует из логарифмического профиля ветра $u(z) = (u_/0{,}4)\,\ln(z/z_0)$ с шероховатостью $z_0 \approx d/30$: для зерна 0,25 мм $z_0 \approx 8$ мкм, $\ln(1/z_0) \approx 11{,}7$, и на высоте 1 м ветер сильнее $u_$ в 29 раз. Для морского песка диаметром 0,25 мм и плотностью 2600 кг/м³ формула Бэгнольда даёт порог $u_ \approx 0{,}25$ м/с — это ветер около 5–7 м/с на высоте метра, обычный слабый или умеренный ветер¹. Иначе говоря, дюна трогается не в шторм, а в ветреный день, — но переносит за шторм больше, чем за месяц бризов, потому что расход растёт как куб: ветер сильнее на 10 % — песка на треть больше, вдвое — в восемь раз.

Кто открыл. Физику песка написал один человек — британский офицер Ральф Бэгнольд, который в 1930-х пересекал Ливийскую пустыню на автомобилях, а потом построил у себя аэродинамическую трубу с песком и в 1941 году издал «Физику переносимого ветром песка и дюн»; книгу до сих пор цитируют как учебник, а NASA использовало её для Марса. На Куршской косе с дюнами воевали раньше, чем понимали: в XIX веке, когда пески засыпали деревни, прусские лесничие под руководством Георга Куверта и Франца Эфа стали ставить плетёные заборы и сажать горную сосну — авандюну вдоль всего берега держат до сих пор².

Где эта картина перестаёт работать

• Порог трогания и гистерезис. Песчинка срывается с места не при любом ветре: нужна скорость выше пороговой, для среднего песка это 5–7 м/с на высоте метра. Но стоит сальтации начаться, как падающие зёрна выбивают следующие, и процесс поддерживает сам себя уже при меньшем ветре — порог остановки ниже порога запуска. Поэтому по одной средней скорости ветра предсказать перенос нельзя: важна история порывов.
• Влага и корка. Плёнка воды между зёрнами добавляет сцепление, и порог трогания подскакивает в разы. После дождя дюна стоит, пока верхний слой не просохнет; в приморских дюнах это решает всё — там перенос идёт считаные дни в году.
• Растительность меняет задачу. Даже редкая трава снижает скорость ветра у поверхности и захватывает песок. Дюна с закреплённым тыльным склоном перестаёт двигаться как целое и начинает деформироваться — модель переноса по трём механизмам этого не описывает.
• Кубическая зависимость. Расход песка растёт примерно как куб скорости ветра: вдвое более сильный ветер несёт в восемь раз больше. Отсюда практический вывод — годовой перенос почти целиком определяется несколькими самыми ветреными днями, а не средним ветром за сезон.

Сколько это в числах

Скорость движения барханов обратно пропорциональна их высоте: мелкие обгоняют крупные. Закон следует из баланса песка³. Пусть через гребень на метр ширины проходит $q$ килограммов песка в год, и весь он оседает на подветренном склоне высотой $h$. Чтобы склон сдвинулся на $c$ метров, нужно уложить слой массой $\rho_b h c$, где $\rho_b\approx1600$ кг/м³ — плотность насыпного песка. Приравнивая, получаем $c = q/(\rho_b h)$: при одном и том же потоке высокая дюна уходит медленнее. Для пятиметровой дюны и $c = 15$ м/год это $q \approx 1{,}2\cdot10^{5}$ кг/м в год; тот же поток сдвинет тридцатиметровую всего на 2,5 м/год. Дюны высотой 5 метров смещаются на 10–20 метров в год, тридцатиметровые — на 1–3 метра. Именно поэтому крупная дюна догоняет и поглощает мелкие, идущие впереди, а поле барханов со временем укрупняется.

О чём спорят Соотношение вкладов трёх механизмов переноса оценивают по-разному. Классическая работа Бэгнольда (1941) отводила сальтации около три четверти переноса, крипу — четверть, взвеси — доли процента. Более поздние измерения с высокоскоростной съёмкой показывают, что доля крипа выше, а главное — что деление на три механизма условно: одно и то же зерно за минуту успевает и ползти, и скакать. Спор не академический: от принятой доли зависит расчёт заносимости дорог и эффективности защитных полос.

Открытый вопрос. Куда идёт Куршская коса в целом? Подвижные дюны сползают к заливу и засыпают его на метры в год, а морской берег отступает под штормами; сохранится ли коса как полоса суши через тысячу лет или разомкнётся проливом, зависит от баланса, который пока не сведён: сколько песка приносит море и сколько уносит ветер в залив.